ГЛОБАЛЬНАЯ ЭНЕРГИЯ В АТОМНОЙ ФИЗИКЕ

§ 39. Статистический подход к решению задачи. Теория Дирака.

    Используя методы статистической физики, т.е. рассматривая функции распределения электронной плотности в атомной системе, эффект, обусловленный квазиброуновским движением электрона в поле ядра, можно учесть более корректно.

   Применим формулу Лоренца для зависимости массы электрона  m от скорости   v

 m = m₀(1 - v ²/c ²) ^-1/2 .                                               (39.1)

 Возведя обе части равенства в квадрат и группируя определенным образом слагаемые, получаем соотношение

(mc ²) ² = c ²p ² + m₀ ²c ⁴,                                            (39.2)

 где  p = mv  – импульс электрона. Далее полагаем, что при движении электрона в поле с потенциальной энергией  U  интегралом движения является полная энергия электрона  E, которая равна

                                               E = K + U,                                                         (39.3)

 где  K – кинетическая энергия электрона, равная

                             K = mc ² - m₀ c ².                                                        (39.4)

 Подставляя выражения (39.3) и (39.4) в (39.2), получаем уравнение Клейна-Гордона

                    (E - U + m₀ c ²) ² = c ²p ² + m₀ ²c ⁴.                               (39.5)

    Таким образом, с учетом зависимости массы электрона от скорости получается квадратичное уравнение не только по отношению к импульсам, как это было в уравнении Шредингера, но и по отношению к полной энергии  Е электрона в атоме. Такое уравнение очень неудобно для использования операторного метода или Фурье-анализа, поэтому Дирак предложил в 1935 г. вместо уравнения (39.5) использовать линейное по отношению к гамильтониану матричное уравнение вида

          H = a₀ m₀ c ² + ca₁ p_x + ca₂ p_y + ca₃ p_z + U(r),                       (39.6)

 где H  – матричный гамильтониан Дирака. Линейность уравнений достигается благодаря использованию специальных антикоммутирующих четырехрядных матриц Дирака  a _i, составленных из двухрядных антикоммутирующих матриц Паули по вполне определенной схеме [22]. В результате использования этих матриц выполняются соотношения (39.1) – (39.5).

   Для нахождения количественных спектральных характеристик атомов требуется решить матричное статистическое уравнение для комплексной амплитуды функции распределения электронной плотности  Y

          i ћ ¶ Y/¶ t = HY,                                                                (39.7)

    Математический аппарат Дирака подробно изложен в работе [22]. Этот аппарат достаточно громоздкий, поэтому здесь мы постараемся представить только краткий анализ и физическую сущность данного метода.

   Оказывается, что, еще не решая уравнение (39.7), можно получить некоторые полезные результаты. В уравнении Шредингера, где не учитывается зависимость массы электрона от скорости, а также квазиброуновское движение электрона в вакууме, сохраняется орбитальный момент количества движения электрона

                   L = [r p].                                                                     (39.10)

    Но в теории Дирака этот орбитальный момент (39.10) не коммутирует с гамильтонианом (39.6), т.е. не является интегралом движения.

   Учитывая линейность используемых уравнений, необходимо найти такую линейную добавку  S  к орбитальному моменту вида (39.10), которая позволила бы полному моменту  I  коммутировать с гамильтонианом Дирака (39.6) и, следовательно, учесть зависимость массы электрона от скорости и спиновую добавку к орбитальному моменту. Тогда полный момент количества электрона в атоме  I   с учетом броуновской добавки   S   будет выглядеть так:

                             I  =  L +  S.                                                                (39.16)

    Исторически квазиброуновская добавка   S к орбитальному моменту получила название спин электрона, а ее физический смысл прояснился значительно позднее.

   Следует отметить, что Дирак блестяще справился с поставленной задачей. Он нашел спиновую добавку   S, используя четырехрядные матрицы, в результате чего полный механический момент электрона в атоме стал коммутировать с гамильтонианом, т.е. превратился в интеграл движения в атоме.

  Кроме этого, следует учесть, что спиновая добавка   S   к орбитальному моменту электрона в атоме не имеет ничего общего с внутренним движением в электроне, а отражает факт дополнительного квазиброуновского движения электрона под воздействием флуктуаций поля вакуума, иными словами – случайных волн эфира. Следовательно, мы не имеем никакой информации о каких-либо внутренних свойствах электрона кроме его поступательного перемещения под воздействием разнообразных полей.

   Дальнейшее решение операторных матричных уравнений Дирака для полного механического момента электрона в атоме I,  а также его составляющих L  и S, приводит к следующему результату [22]. Для квантового числа  j, соответствующего полному механическому моменту, существует только два решения, а именно,  j =  l + 1/2   и  j = l – 1/2, где  l – орбитальное квантовое число, что полностью согласуется с экспериментом.