ГЛОБАЛЬНАЯ ЭНЕРГИЯ В АТОМНОЙ ФИЗИКЕ

§ 36.  Связь энергии с частотой. Динамическое уравнение Шредингера

   Рассмотрим систему, состоящую из большого  числа атомов, т.е. вещество. Распределение  электронной плотности в веществе при стационарном движении электронов описывается стационарной функцией распределения  w(x,y,z), уравнение для которой мы вывели в § 31. Отметим, что под стационарным распределением следует понимать усредненную за бесконечное время наблюдения плотность электронной  плазмы в веществе. Однако из-за статистического характера движения электронов электронная плотность не остается постоянной, а непрерывно флуктуирует во времени за счет естественного орбитального движения электронов в атомах и молекулах. Таким образом, для установления более полной динамической картины поведения электронной плазмы необходимо учитывать временную зависимость функции распределения. При этом функция распределения будет иметь вид: w(x,y,z,t). Требуется определить характер этой зависимости и, в частности, зависимость от времени комплексной амплитуды функции распределения  Ф(x,y,z,t).

   С этой целью воспользуемся законом сохранения полного заряда или числа частиц в веществе. Этот закон в дифференциальной форме известен как уравнение непрерывности для плотности заряда  r и плотности  электрического тока   j = vr,   где   v - средняя  скорость электронов,

                                     ¶r /¶ t + div j  =  0.                                               (36.1)

   Используя статистический метод описания, выразим плотность электрического заряда через функцию распределения электронной плотности   w(x,y,z,t)  и заряд электрона    e

r(x,y,z,t) = ew(x,y,z,t) = e |Ф(x,y,z,t)|².                   (36.2)  

Подставив это выражение в (36.1) и сократив заряд  e, получим уравнение непрерывности для  функции распределения электронной плотности

                     ¶ /¶ t  |Ф|² + div |Ф|² v  =  0.                                (36.3)

    Данное уравнение на языке статистической  механики может быть интерпретировано следующим образом. Первый член уравнения означает изменение функции распределения или электронной плотности во времени в данной точке пространства. Второй член имеет смысл потока функции распределения или потока плотности вероятности через малую сферу, окружающую данную точку, в соответствии с определением дивергенции вектора. Вполне естественно, что от функции распределения некоторой  физической величины (заряда, массы, энергии и  т.д.) можно всегда перейти к описанию поведения во времени самой физической величины в терминах механики сплошных сред.

  Таким образом, использование той или иной функции распределения является мостиком или связующим звеном между описанием движения дискретных объектов в статистической механике и в механике непрерывных сред, которые всегда являются некоторой идеализацией реального вещества, состоящего из атомов и молекул. Недооценка этого подхода породила в квантовой теории представление об отдельной частице как о протяженном (размытом) в пространстве объекте:  например, волна де Бройля, волновой пакет или электрон в виде облака, хотя речь идет, как правило, всего лишь о функции распределения, то есть плотности вероятности местонахождения частицы  в заданном  объеме.

   С целью определения временной зависимости  Ф(x,y,z,t)  приведем уравнение (36.3) к  виду

¶ /¶ t (Ф*Ф) = - div(Ф*Ф v) .                         (36.4)

   Преобразуем правую часть (36.4) к симметричной форме с заменой скорости   v   на импульс электрона    p = mv

¶ /¶ t(ФФ*) = - (1/2m)div(Ф*рФ + ФрФ*).            (36.5)

    Теперь воспользуемся методом Фурье, применявшимся нами для вывода стационарного уравнения Шредингера (34.18), и произведем замену импульса  p   в (36.5) дифференциальным оператором [3] в соответствии с выражением

рФ = - iћ ÑФ.                                    (36.6)

Подставив (36.6) в (36.5) и выполнив дифференцирование, получаем

 ¶ /¶ t(ФФ*) = (iћ/2m)(Ф*DФ + ФDФ*).                 (36.7)

Для приведения уравнения к удобному виду с целью совместного его решения со стационарным уравнением Шредингера (34.18) умножим все члены (36.7) на i ћ,  раскроем скобки в левой части, а в правую часть прибавим и вычтем слагаемое   Ф^*UФ.  После соответствующей перегруппировки слагаемых в получившемся уравнении имеем

 iћФ*¶ Ф/¶ t – [iћФ*¶ Ф/¶ t]* = - (ћ²/2m)Ф*DФ + Ф*UФ –

         [- (ћ²/2m)Ф*DФ + Ф*UФ]*.                                            (36.8)

    Данное сложное уравнение состоит из двух комплексно сопряженных частей более простого уравнения

                             iћ ¶Ф/¶ t  = - (ћ²/2m)DФ + UФ,                     (36.9)

 где произведено сокращение на    Ф^*.

   Мы получили полностью классическим путем динамическое уравнение Шредингера, которое было введено им также в виде постулата, исходя из волновых соображений в 1926 году. Если потенциальная энергия   U(x,y,z) не зависит от времени, то в уравнении (36.9) можно произвести разделение переменных, записав функцию   Ф в виде произведения временной и пространственной функций

       Ф(x,y,z,t) = В(t)П(x,y,z)       .                                               (36.10)

 Подставим это выражение в уравнение (36.9)

 iћ П dB/dt = -( ћ²/2m) ВDП + U ВП                                          (36.11)

 и поделим обе части уравнения (36.11) на  ВП

 iћ 1/В dB/dt = - ћ²/2m (DП)/П + U.                                            (36.12)

    Хорошо видно, что левая часть уравнения (36.12) зависит только от времени, а правая часть - только от координат. Для любых значений   t   и координат это возможно только в том случае, если обе части уравнения равны некоторой константе Е,   называемой параметром разделения. В результате мы получаем два независимых уравнения

                 iћ dB/dt = E B                                                           (36.13)

и         (- ћ²/2m) DП + U П = E П.                             (36.14)

    Второе уравнение является стационарным уравнением Шредингера, которое было выведено нами ранее методом Фурье. Уравнение (36.13) легко решается и приводит к следующей временной зависимости функции   В(t):

 В(t) = exp(-iEt/ћ) = exp(-iw t),                                 (36.15)

 где   w = E/ћ  - боровская частота. Данное уравнение могло быть получено и на основе гармонического Фурье-анализа из соотношения

                    ¶ Ф/¶ t = iw Ф.                                                          (36.16)

    Проанализируем различные варианты решения уравнений (36.13) и (36.14). Если параметр разделения Е  является комплексным, то функция   В(t)   будет изменяться во времени по модулю, что приведет к изменению электронной плотности в данной области пространства, т.е. соответствует нестационарному процессу, а полная энергия не является интегралом движения системы. При этом будет происходить либо поглощение, либо излучение электромагнитной энергии в зависимости от характеристик системы. В том же случае, если параметр разделения является действительной величиной, модуль функции   В(t)  становится постоянным и зависимость  В(t)  является гармонической с частотой колебаний   w. Это соответствует стационарному движению электронов в атомах и молекулах, т.е. параметры движения в системе остаются постоянными.