ГЛОБАЛЬНАЯ ЭНЕРГИЯ В АТОМНОЙ ФИЗИКЕ

§ 32. Геометрический способ доказательства теоремы Лиувилля

    Рассмотрим теорему Лиувилля с геометрической точки зрения с использованием пучков частиц, например, электронов.

   Допустим, что один и тот же пучок частиц предстоит сфокусировать в фокальной плоскости в малое пятно при помощи электронных линз  L₁  и  L₂  с разными фокусными расстояниями  F₁  и  F₂  (рис. 32.1). При этом  F₂  больше  F₁.

Рис. 32.1 Фокусировка частиц с помощью электронных линз L₁ и L₂  с различными фокусными расстояниями   F₁ и F₂  .

  Вполне понятно, что размер пятна   Dy   в фокальной плоскости электронной линзы будет пропорционален углу расходимости пучка q, так называемому эмиттансу пучка [15], и фокусному расстоянию линзы.

   Существенно заметить, что в фокальную плоскость электроны будут влетать под большими углами, чем это было на входе электронной линзы. Другими словами, разброс в величине проекций импульсов  D p_y  в фокальной плоскости будет больше, чем  D p_y  на входе линзы. Из геометрических соображений понятно, что если фокусное расстояние  F₂  линзы в два раза больше, чем F₁ , то размер пятна  Dy  будет в два раза больше. Однако разброс частиц по проекциям импульсов  D p_y  будет в два раза меньше, поскольку электроны будут влетать в фокальную плоскость в случае длиннофокусной линзы под углами в два раза меньшими (рис.32.1). Стараясь сконцентрировать частицы в меньшей области  Dy, мы при помощи электромагнитных полей сообщаем им дополнительные проекции импульсов D p_y .

   Таким образом, для данного пучка частиц будет всегда выполняться соотношение

D p_y Dy  = const                                        (32.1)

независимо от фокусного расстояния электронной линзы. Это означает, что фазовый объем пучка частиц при движении его в силовых полях остается постоянным, что и составляет сущность теоремы Лиувилля.

   Используемые соотношения справедливы как для пучков частиц, так и для лучей света. Расходимость пучка частиц или луча света связана с принципиальной невозможностью сведения их в точку в фокальной плоскости объектива или электронной линзы. При этом полная ширина расходимости  q  пучка или луча определяется по уровню  1/e  с помощью формулы

q = d/F,                                                (32.2)

где  d – диаметр пятна по уровню 1/e  в фокальной плоскости фокусирующей системы.

   В качестве основных следствий теоремы Лиувилля можно привести следующие:

1.     В силу статистического разброса проекций импульсов на плоскость, перпендикулярную пучку, частицы невозможно сфокусировать в точку никакими электронными линзами.

2. Невозможным является также создание абсолютно параллельных, т.е. без расходимости, пучков частиц и лучей света.

3. Яркость источника невозможно увеличить при помощи каких-либо оптических устройств.

4. Благодаря статистическому разбросу проекций импульсов на любую заданную ось, вероятность падения электронов на ядра атомов является ничтожно малой.

   К этому можно также добавить, что среднеквадратичный момент импульса электронов в атомах не может равняться нулю, а может принять лишь некоторое минимально возможное значение согласно исходному фазовому объему свободных электронов

DW  =  Dx Dy Dz  D p_x D p_y D p_z.                       (32.3)

   В эксперименте это проявляется в появлении у электронов в атомах минимального механического момента порядка постоянной Планка  ћ  (спин электрона).

   На практике, для того чтобы послать луч света на большое расстояние с малой угловой расходимостью или сконцентрировать его на большом расстоянии в малое пятно, необходимо предварительно этот луч с помощью оптики увеличить в диаметре. В противном случае при очень малой апертуре оптического устройства луч света на расстоянии попросту разойдется во все стороны. Это также является одним из следствий теоремы Лиувилля.